GUDANG ILMU thondynet

Rabu, 31 Oktober 2012

struktur aljabar



TEOREMA-TEOREMA GRUP (struktur aljabar)
Misalkan (G, ) suatu grup dan H himpunan bagian (kompleks) dari G, apabila (H, ) suatu grup, maka dikatakan bahwa  H adalah  subgrup dari G.  Penulisan  (G, ) dan  (H, ) tersebut menerangkan bahwa apabila H subgrup dari G, maka operasi pada H harus sama dengan operasi G. Untuk selanjutnya operasi-operasi tersebut tidak dituliskan lagi.
Jika G suatu grup dengan elemen identitas e, maka {e} dan G sendiri merupakan himpunan bagian yang sekaligus merupakan subgrup dari G. Kedua subgrup ini dikatakan subgrup tak sejati atau trivial. Subgrup-subgrup lainnya dari G (jika ada) disebut subgrup sejati yang lazimnya hanya dikatakan subgrup saja, apabila tak ada kekhususan.

Berikut ini merupakan teorema-teorema yang berkenaan dengan subgrup:
1.      Teorema 1
Jika H suatu himpunan bagian dari grup G, maka H adalah subgrup dari G jika dan hanya jika " a, b Î H berlaku (i) ab Î H dan (ii) a-1 Î H.
2.      Teorema 2
Jika H suatu himpunan bagian dari grup G, maka H adalah subgrup dari G jika dan hanya jika " a, b Î H, ab-1 Î H.
3.      Teorema 3
Jika H suatu himpunan bagian berhingga dari grup G, maka H subgrup dari G jika dan hanya jika H memenuhi sifat tertutup terhadap operasi pada G, yaitu " a, b Î H, ab Î H.

4.      Teorema 4
Jika H himpunan bagian dari grup G, maka H adalah subgrup dari G jika dan hanya jika H H-1 = H.
5.      Teorema 5
Jika H suatu himpunan bagian dari grup G, maka H adalah subgrup dari G jika dan hanya jika (i) H H = H dan H-1 = H.
6.      Teorema 6
Jika H dan K dua subgrup dari grup G, maka HK suatu subgrup dari G jika dan hanya jika HK = KH.

Teorema-teorema tersebut dapat digunakan untuk membuktikan bahwa suatu himpunan merupakan subgrup dari himpunan yang lain dengan operasi biner tertentu

Contoh 1
(B, +) yaitu grup bilangan bulat dengan penjumlahan. Jika K = {5n½nÎB}, yaitu semua bilangan bulat kelipatan 5, maka (K, +) adalah suatu grup dan karena K Ì B, maka K subgrup dari B. Secara umum jika m suatu bilangan bulat dan Bm­ = {km½kÎB}, yaitu himpunan semua bilangan bulat kelipatan m, maka B adalah subgrup dari B.

Contoh 2
a.       (B, +) merupakan subgrup dari (Q, +), sekaligus juga merupakan subgrup dari (R, +) dan (K, +)
b.       (Q, +) merupakan subgrup dari (R, +) dan (K, +)
c.        (R, +) merupakan subgrup dari (K, +)

Contoh 3
Buktikan bahwa (Bm, +) dengan Bm­ = {km½kÎB} merupakan subgrup dari (B, +)!
Penyelesaian:
Untuk membuktikan kasus di atas, kita dapat menggunakan teorema 2, yaitu dengan membuktikan bahwa " a, bÎ Bm berlaku ab-1Î Bm.
Ambil sebarang " a, bÎ Bm, maka a =  k1m, untuk suatu k1 Î B
                                                dan b = k2m, untuk suatu k2 Î B
b-1 = -b = -( k2m) = - k2m
ab-1 = k1m(- k2m)
       = - k1k2m2
       = (- k1k2m)m
Karena k1, k2, dan m Î B, maka (- k1k2m)Î B
Misal: - k1k2m = h, maka  ab-1 = (- k1k2m)m = hm, untuk h Î B
Hal ini menunjukkan ab-1 Î BmText Box: Kembali ke menu materi
.
1)         Elemen identitas dalam suatu grup adalah tunggal
Bukti :
Misal (G, o) adalah grup.
Andaikan  e dan h adalah elemen identitas ( e ¹ h ) maka berlaku;
(i)    e o h  = h o e = h   ………….  e sebagai identitas
(ii)   e o h  = h o e = e    …………  h sebagai identitas
karena e o h dan h o e adalah elemen tunggal pada  G maka dari (i) dan   (ii) berakibat  e = h  (kontradiksi dengan pengandaian). Ini berarti bahwa elemen identitas di G adalah tunggal.

2)         Setiap elemen dari suatu grup memiliki invers yang tunggal
Bukti :
Misal (G, o) adalah grup.
Andaikan invers dari  a Î G tidak tunggal yaitu  a1-1 dan a2-1
dengan   a1-1  ¹   a2-1
Misal  e  adalah elemen identitas di G maka berlaku
a  o  a1-1            = a1-1  o  a        =  e                  ……….. (i)
a  o  a2-1            = a2-1   o  a        =  e                  ……….. (ii)
selanjutnya   a1-1  o (a o a2-1 )  =  a1-1  o  e  =  a1-1            ……...... (iii)
dan       (a1-1  o  a ) o  a2-1          =  e  o  a2-1  =  a2-1         ………..  (iv)
karena operasi  o  bersifat assosiatif di G yang berarti bahwa
a1-1  o ( a o  a2-1 )           = (a1-1  o  a ) o  a2-1                  ……….. (iii) dan (iv)
             a1-1                   =         a2-1           
(kontradiksi dengan pengandaian)
Ini berarti  G setiap unsur di G punya invers yang tunggal.

3)         Dalil kanselasi dipertahankan atau berlaku pada suatu grup. 
Bukti :
Akan ditunjukkan bahwa pada grup berlaku dalil kanselasi kiri maupun kanan.
Misal (G, o) adalah grup.
" a,b,c Î G  berlaku
(i)   b  o  a  =  c  o  a   maka   b = c        ………..  kanselasi kanan
(ii)  a  o  b  =  a  o  c   maka   b = c        ………..  kanselasi kiri

(i)      a Î G  maka  a-1 Î G  ( a punya invers yaitu a-1  di G )
b  o  a                      =      c  o  a
(b  o  a)  o  a-1         =    (c  o  a)  o  a-1         ......  dioperasikan dgn  a -1  di seb. kanan   
b  o (a  o  a-1 )         =    c  o  (a  o a-1 )         ......  sifat assosiatif
b    o    e                 =    c   o  e        …..  ( e  =  el. Identitas di G)
b                            =       c                         …..  sifat identitas

(ii)         a   o   b            =       a    o    c  
       a-1  o  (a   o  b)       =  a-1  o  (a  o  c)           ..............          dioperasikan dgn  a -1  di seb. kiri  
       (a-1  o  a)  o  b        =  (a-1 o  a)  o  c            ..............          sifat assosiatif
            e     o     b         =      e    o    c   ..............          Sifat identitas
                    b              =      c   
       Jadi dalil kanselasi berlaku pada sebarang grup
4)         Misal (G, o) adalah grup. Untuk setiap a,b Î G berlaku
            (i)   (a )   =   a  dan      (ii)   (a  o  b)-1  =  b-1 o  a-1
Bukti   :     a Î G  maka  a-1 Î G  sehingga  a o a-1  =  a-1 o  a  =  e   (e = el. identitas)
(i)      a  o  a-1                               =        e
(a  o  a-1 )  o  (a-1)-1 =    e  o  (a-1)-1
a  o  (a-1  o (a-1)-1)               =    (a-1)-1             ………..  (assosiatif)
a      o       e                        =    (a-1)-1
a                                        =     (a-1)-1
Juga   (ii)         a-1     o       a      =        e
(a-1)-1  o  (a-1  o  a )                   =   (a-1)-1  o   e
((a-1)-1  o  a-1)  o  a                    =   (a-1)-1            …………….  (assosiatif)        
e        o    a                               =   (a-1)-1
a                                              =   (a-1)-1            
Dari (i) dan (ii)  maka  a  =  (a-1)-1 .
Selanjutnya kita akan membuktikan dalil de Morgan (bagian ii)
             (a  o  b)  o (a  o  b)-1  =  e                                 ........... (i)
             (a  o  b) o  b-1 o  a-1   =  a  o  (b o  b-1 )  o  a-1     ........... sifat assosiatif
=  a  o   e    o   a-1         ........... sifat invers       
=  a  o  a-1                     ........... sifat identitas
=   e                 ........... (ii)
Dari (i) dan (ii) diperoleh   (a  o  b)  o (a  o  b)-1   =   (a  o  b) o  b-1 o  a-1   
Kanselasi kiri berlaku pada grup maka   (a  o  b)-1 =    b-1 o  a-1

5)         Misal (G, o) adalah grup. Untuk setiap a,b Î G maka persamaan 
            a o x = b  dan   y  o  a  =  b   memiliki selesaian yang tunggal di G
Bukti :  Pertama kita akan menunjukkan bahwa  a o x = b  memiliki selesaian
" a, b Î G  maka ada  a-1 Î G  dan  a-1 o  b  Π G (karena G bersifat tertutup terhadap operasi o).
Selanjutnya     a  o  x     =   b
a-1 o ( a o x)                  =   a-1  o  b         
(a-1 o a)  o x                  =   a-1  o  b
e      o  x                       =   a-1  o  b
x                                  =   a-1  o  b
untuk mengecek    a-1  o b   adalah selesaian dari  a o x  = b  maka kita substitusikan yaitu        a   o  x       =   b
 a  o  (a-1 o  b)  =   b      ...............         substitusi  x =  a-1  o  b
(a  o a-1 )  o  b   =   b     ...............         assosiatif
e   o   b             =   b
b                      =   b  …………  benar
Kedua, kita akan menunjukkan bahwa  selesaian tersebut adalah tunggal.
Andaikan  a o x = b  memiliki selesaian tidak tunggal yaitu  x1  dan x2  dengan x1 ¹  x2 .
Selanjutnya     a  o  x1   =  b   dan   a  o  x2  =  b 
diperoleh          a  o x1   =  a  o  x2           
                                x    =    x               ……..   kanselasi kiri.
Ini bertentangan dengan pengandaian. Jadi  a o x = b memiliki selesaian tunggal.
Selanjutnya untuk menujukkan bahwa  y o a = b  memiliki selesaian tunggal adalah analog dengan cara diatas.

Perpangkatan elemen dari grup (Integral power of an elemen)
Misal  (G, o) adalah grup. Misal  a Î G, karena G bersifat tertutup terhadap operasi o  maka  a o a Î G; a o a o a Î G;  a o a o a o a Î G dan seterusnya.
Untuk suatu bilangan bulat m, hasil operasi a o a o a o … o a  sebanyak  m  kita tuliskan sebagai   a o a o a o … o a  =  am   (am Î G).
Secara khusus kita peroleh bahwa
            a o a                 =  a2
            a o a o a           =  a3
            a o a o a o a      =  a4    (dst)
Invers dari  am  kita notasikan sebagai  a-m
Selanjutnya kita sepakati penulisan untuk  a-m  = (am)-1    yaitu
                 (am)-1           = (a o a o a o a o … o a )-1        …………  sebanyak m
                                    = a-1 o a-1 o a-1  o … o a-1          …..........   sebanyak m
                                    =  (a-1)m
            Jadi kita peroleh   a-m  = (am)-1  = (a-1)m

6)         Misal  (G, o) adalah sebarang grup. Untuk setiap  a Î G maka untuk setiap bilangan bulat m dan n berlaku
             (i)     am  o  an =   am+n              
             (ii)     (am)n       =   amn
Petunjuk : Tunjukkan untuk  m dan n  bilangan bulat positif  serta m dan n adalah bilangan bulat negatif.