struktur aljabar

TEOREMA-TEOREMA GRUP (struktur aljabar)

Misalkan (G, ) suatu grup dan H himpunan bagian (kompleks) dari G, apabila (H, ) suatu grup, maka dikatakan bahwa  H adalah  subgrup dari G.  Penulisan  (G, ) dan  (H, ) tersebut menerangkan bahwa apabila H subgrup dari G, maka operasi pada H harus sama dengan operasi G. Untuk selanjutnya operasi-operasi tersebut tidak dituliskan lagi.

Jika G suatu grup dengan elemen identitas e, maka {e} dan G sendiri merupakan himpunan bagian yang sekaligus merupakan subgrup dari G. Kedua subgrup ini dikatakan subgrup tak sejati atau trivial. Subgrup-subgrup lainnya dari G (jika ada) disebut subgrup sejati yang lazimnya hanya dikatakan subgrup saja, apabila tak ada kekhususan.

Berikut ini merupakan teorema-teorema yang berkenaan dengan subgrup:

1.      Teorema 1

Jika H suatu himpunan bagian dari grup G, maka H adalah subgrup dari G jika dan hanya jika " a, b Î H berlaku (i) ab Î H dan (ii) a^-1 Î H.

2.      Teorema 2

Jika H suatu himpunan bagian dari grup G, maka H adalah subgrup dari G jika dan hanya jika " a, b Î H, ab^-1 Î H.

3.      Teorema 3

Jika H suatu himpunan bagian berhingga dari grup G, maka H subgrup dari G jika dan hanya jika H memenuhi sifat tertutup terhadap operasi pada G, yaitu " a, b Î H, ab Î H.

4.      Teorema 4

Jika H himpunan bagian dari grup G, maka H adalah subgrup dari G jika dan hanya jika H H^-1 = H.

5.      Teorema 5

Jika H suatu himpunan bagian dari grup G, maka H adalah subgrup dari G jika dan hanya jika (i) H H = H dan H^-1 = H.

6.      Teorema 6

Jika H dan K dua subgrup dari grup G, maka HK suatu subgrup dari G jika dan hanya jika HK = KH.

Teorema-teorema tersebut dapat digunakan untuk membuktikan bahwa suatu himpunan merupakan subgrup dari himpunan yang lain dengan operasi biner tertentu

Contoh 1

(B, +) yaitu grup bilangan bulat dengan penjumlahan. Jika K = {5n½nÎB}, yaitu semua bilangan bulat kelipatan 5, maka (K, +) adalah suatu grup dan karena K Ì B, maka K subgrup dari B. Secara umum jika m suatu bilangan bulat dan B_m­ = {km½kÎB}, yaitu himpunan semua bilangan bulat kelipatan m, maka B_m­ adalah subgrup dari B.

Contoh 2

a.       (B, +) merupakan subgrup dari (Q, +), sekaligus juga merupakan subgrup dari (R, +) dan (K, +)

b.       (Q, +) merupakan subgrup dari (R, +) dan (K, +)

c.        (R, +) merupakan subgrup dari (K, +)

Contoh 3

Buktikan bahwa (B_m, +) dengan B_m­ = {km½kÎB} merupakan subgrup dari (B, +)!

Penyelesaian:

Untuk membuktikan kasus di atas, kita dapat menggunakan teorema 2, yaitu dengan membuktikan bahwa " a, bÎ B_m berlaku ab^-1Î B_m.

Ambil sebarang " a, bÎ B_m, maka a =  k₁m, untuk suatu k₁ Î B

                                                dan b = k₂m, untuk suatu k₂ Î B

b^-1 = -b = -( k₂m) = - k₂m

ab^-1 = k₁m(- k₂m)

       = - k₁k₂m²

       = (- k₁k₂m)m

Karena k₁, k₂, dan m Î B, maka (- k₁k₂m)Î B

Misal: - k₁k₂m = h, maka  ab^-1 = (- k₁k₂m)m = hm, untuk h Î B

Hal ini menunjukkan ab^-1 Î B_m

.

1)         Elemen identitas dalam suatu grup adalah tunggal

Bukti :

Misal (G, o) adalah grup.

Andaikan  e dan h adalah elemen identitas ( e ¹ h ) maka berlaku;

(i)    e o h  = h o e = h   ………….  e sebagai identitas

(ii)   e o h  = h o e = e    …………  h sebagai identitas

karena e o h dan h o e adalah elemen tunggal pada  G maka dari (i) dan   (ii) berakibat  e = h  (kontradiksi dengan pengandaian). Ini berarti bahwa elemen identitas di G adalah tunggal.

2)         Setiap elemen dari suatu grup memiliki invers yang tunggal

Bukti :

Misal (G, o) adalah grup.

Andaikan invers dari  a Î G tidak tunggal yaitu  a₁^-1 dan a₂^-1

dengan   a₁^-1  ¹   a₂^-1

Misal  e  adalah elemen identitas di G maka berlaku

a  o  a₁^-1            = a₁^-1  o  a        =  e                  ……….. (i)

a  o  a₂^-1            = a₂^-1   o  a        =  e                  ……….. (ii)

selanjutnya   a₁^-1  o (a o a₂^-1 )  =  a₁^-1  o  e  =  a₁^-1            ……...... (iii)

dan       (a₁^-1  o  a ) o  a₂^-1          =  e  o  a₂^-1  =  a₂^-1         ………..  (iv)

karena operasi  o  bersifat assosiatif di G yang berarti bahwa

a₁^-1  o ( a o  a₂^-1 )           = (a₁^-1  o  a ) o  a₂^-1                  ……….. (iii) dan (iv)

             a₁^-1                   =         a₂^-1           

(kontradiksi dengan pengandaian)

Ini berarti  G setiap unsur di G punya invers yang tunggal.

3)         Dalil kanselasi dipertahankan atau berlaku pada suatu grup. 

Bukti :

Akan ditunjukkan bahwa pada grup berlaku dalil kanselasi kiri maupun kanan.

Misal (G, o) adalah grup.

" a,b,c Î G  berlaku

(i)   b  o  a  =  c  o  a   maka   b = c        ………..  kanselasi kanan

(ii)  a  o  b  =  a  o  c   maka   b = c        ………..  kanselasi kiri

(i)      a Î G  maka  a^-1 Î G  ( a punya invers yaitu a^-1  di G )

b  o  a                      =      c  o  a

(b  o  a)  o  a^-1         =    (c  o  a)  o  a^-1         ......  dioperasikan dgn  a ^-1  di seb. kanan   

b  o (a  o  a^-1 )         =    c  o  (a  o a^-1 )         ......  sifat assosiatif

b    o    e                 =    c   o  e        …..  ( e  =  el. Identitas di G)

b                            =       c                         …..  sifat identitas

(ii)         a   o   b            =       a    o    c  

       a^-1  o  (a   o  b)       =  a^-1  o  (a  o  c)           ..............          dioperasikan dgn  a ^-1  di seb. kiri  

       (a^-1  o  a)  o  b        =  (a^-1 o  a)  o  c            ..............          sifat assosiatif

            e     o     b         =      e    o    c   ..............          Sifat identitas

                    b              =      c   

       Jadi dalil kanselasi berlaku pada sebarang grup

4)         Misal (G, o) adalah grup. Untuk setiap a,b Î G berlaku

            (i)   (a )   =   a  dan      (ii)   (a  o  b)^-1  =  b^-1 o  a^-1

Bukti   :     a Î G  maka  a^-1 Î G  sehingga  a o a^-1  =  a^-1 o  a  =  e   (e = el. identitas)

(i)      a  o  a^-1                               =        e

(a  o  a^-1 )  o  (a^-1)^-1 =    e  o  (a^-1)^-1

a  o  (a^-1  o (a^-1)^-1)               =    (a^-1)^-1             ………..  (assosiatif)

a      o       e                        =    (a^-1)^-1

a                                        =     (a^-1)^-1

Juga   (ii)         a^-1     o       a      =        e

(a^-1)^-1  o  (a^-1  o  a )                   =   (a^-1)^-1  o   e

((a^-1)^-1  o  a^-1)  o  a                    =   (a^-1)^-1            …………….  (assosiatif)        

e        o    a                               =   (a^-1)^-1

a                                              =   (a^-1)^-1            

Dari (i) dan (ii)  maka  a  =  (a^-1)^-1 .

Selanjutnya kita akan membuktikan dalil de Morgan (bagian ii)

             (a  o  b)  o (a  o  b)^-1  =  e                                 ........... (i)

             (a  o  b) o  b^-1 o  a^-1   =  a  o  (b o  b^-1 )  o  a^-1     ........... sifat assosiatif

=  a  o   e    o   a^-1         ........... sifat invers       

=  a  o  a^-1                     ........... sifat identitas

=   e                 ........... (ii)

Dari (i) dan (ii) diperoleh   (a  o  b)  o (a  o  b)^-1   =   (a  o  b) o  b^-1 o  a^-1   

Kanselasi kiri berlaku pada grup maka   (a  o  b)^-1 =    b^-1 o  a^-1

5)         Misal (G, o) adalah grup. Untuk setiap a,b Î G maka persamaan 

            a o x = b  dan   y  o  a  =  b   memiliki selesaian yang tunggal di G

Bukti :  Pertama kita akan menunjukkan bahwa  a o x = b  memiliki selesaian

" a, b Î G  maka ada  a^-1 Î G  dan  a^-1 o  b  Π G (karena G bersifat tertutup terhadap operasi o).

Selanjutnya     a  o  x     =   b

a^-1 o ( a o x)                  =   a^-1  o  b         

(a^-1 o a)  o x                  =   a^-1  o  b

e      o  x                       =   a^-1  o  b

x                                  =   a^-1  o  b

untuk mengecek    a^-1  o b   adalah selesaian dari  a o x  = b  maka kita substitusikan yaitu        a   o  x       =   b

 a  o  (a^-1 o  b)  =   b      ...............         substitusi  x =  a^-1  o  b

(a  o a^-1 )  o  b   =   b     ...............         assosiatif

e   o   b             =   b

b                      =   b  …………  benar

Kedua, kita akan menunjukkan bahwa  selesaian tersebut adalah tunggal.

Andaikan  a o x = b  memiliki selesaian tidak tunggal yaitu  x₁  dan x₂  dengan x₁ ¹  x₂ .

Selanjutnya     a  o  x₁   =  b   dan   a  o  x₂  =  b 

diperoleh          a  o x₁   =  a  o  x₂           

                                x    =    x               ……..   kanselasi kiri.

Ini bertentangan dengan pengandaian. Jadi  a o x = b memiliki selesaian tunggal.

Selanjutnya untuk menujukkan bahwa  y o a = b  memiliki selesaian tunggal adalah analog dengan cara diatas.

Perpangkatan elemen dari grup (Integral power of an elemen)

Misal  (G, o) adalah grup. Misal  a Î G, karena G bersifat tertutup terhadap operasi o  maka  a o a Î G; a o a o a Î G;  a o a o a o a Î G dan seterusnya.

Untuk suatu bilangan bulat m, hasil operasi a o a o a o … o a  sebanyak  m  kita tuliskan sebagai   a o a o a o … o a  =  a^m   (a^m Î G).

Secara khusus kita peroleh bahwa

            a o a                 =  a²

            a o a o a           =  a³

            a o a o a o a      =  a⁴    (dst)

Invers dari  a^m  kita notasikan sebagai  a^-m

Selanjutnya kita sepakati penulisan untuk  a^-m  = (a^m)^-1    yaitu

                 (a^m)^-1           = (a o a o a o a o … o a )^-1        …………  sebanyak m

                                    = a^-1 o a^-1 o a^-1  o … o a^-1          …..........   sebanyak m

                                    =  (a^-1)^m

            Jadi kita peroleh   a^-m  = (a^m)^-1  = (a^-1)^m

6)         Misal  (G, o) adalah sebarang grup. Untuk setiap  a Î G maka untuk setiap bilangan bulat m dan n berlaku

             (i)     a^m  o  aⁿ =   a^m+n              

             (ii)     (a^m)ⁿ       =   a^mn

Petunjuk : Tunjukkan untuk  m dan n  bilangan bulat positif  serta m dan n adalah bilangan bulat negatif.